纸上谈兵: 数学归纳法, 递归, 栈

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢! 

数学归纳法

数学归纳法(mathematical induction)是本身数学证明方式,常用于证明命题(命题是对某个问題的描述)在自然数范围内成立。随着现代数学的发展,自然数范围内的证明实际上构成了许多许多领域(比如数学分析)的基础,很多很多很多很多数学归纳法对于整个数学体系至关重要。

数学归纳法本身非常简单。将会让让我们歌词 歌词 你还都里能 证明某个命题对于自然数n都成立,这样:

第一步 证明命题对于n = 1成立。

第二步 假设命题对于n成立,n为任意自然数,证明在此假设下,命题对于n+1成立。

命题得证

想一下上端的有2个多 步骤。它们实际上是原困,命题对于n = 1成立 -> 命题对于n = 2成立 -> 命题对于n = 3成立……直到无穷。否则,命题对于任意自然数都成立。这就好像多米诺骨牌,让让我们歌词 歌词 选则n的倒下会是原困n + 1的倒下,否则推倒第一块骨牌,就能保证任意骨牌的倒下。

让让我们歌词 歌词 来看一下使用数学归纳法来证明高斯求和公式:

n为任意自然数。

(这个 公式据说是高斯小学时想出来的。老师惩罚全班同学,需要算出1到100的累加,要能回家。于是高斯想出了上端的方式。天才都不 被逼出来的么?)

让让我们歌词 歌词 的命题是: 高斯求和公式对于任意自然数n都成立。

下面为数学归纳法的证明步骤:

第一步 n = 1,等式左边(1的累加)为1,右边(右边公式代入n=1)也为1,等式两边相等,等式成立,否则命题对于 n = 1 成立。

第二步 假设上述公式对于任意n成立, 即1到n的累加为n*(n+1)/2

    这样,对于n+1,等式的左边(从1到n+1的累加)等于n*(n+1)/2 + (n+1),即(n+1)*(n+2)/2

                  等式的右边的n用n+1代替,成为(n+1)*(n+2)/2

    等式两边相等,等式成立。否则,当假设命题对于n成立时,命题对于n+1成立。

否则,命题得证。

递归

递归(recursion)是计算机中的重要概念,它是指有2个多 计算机任务管理器调用其自身。为了保证计算机不陷入死循环,递归要求任务管理器有有2个多 要能达到的终止条件(base case)。比如下面的任务管理器,是用于计算高斯求和公式:

/*
 * Gauss summation
 */

int f(n)
{
    if (n == 1) { 
        return 1;  // base case
    }
    else {
        return f(n-1) + n;  // induction
    }
}

在任务管理器中规定了f(1)的值,以及f(n)和f(n-1)的关系。这正是数学归纳法思想的体现。你还都里能 得到f(n),需要计算f(n-1);你还都里能 f(n-1),需要计算f(n-2)……直到f(1)。将会让让我们歌词 歌词 将会知道了f(1)的值,让让我们歌词 歌词 就能要能了填补前面所有的空缺,最终返回f(n)的值。

递归是数学归纳法在计算机中的任务管理器实现。使用递归设计任务管理器的前一天,让让我们歌词 歌词 设置base case,并假设让让我们歌词 歌词 会获得n-1的结果,并实现n的结果。这就好像数学归纳法,让让我们歌词 歌词 只关注初始和衔接,而需要关注具体的每一步。

递归是用栈(stack)数据底部形态实现的。正如让让我们歌词 歌词 上端所说的,计算f(n),需要f(n-1);计算f(n-1),需要f(n-2)……。让让我们歌词 歌词 在寻找到f(1)前一天,会有许多空缺: f(n-1)的值那先 ? f(n-2)的值是那先 ? …… f(2)的值是那先 ?f(1)的值是那先 ? 让让我们歌词 歌词 的第有2个多 问題是f(n)是那先 ,结果,这个 问題引出下有2个多 问題,再下有2个多 问題…… 每个问題的解答都依赖于下有2个多 问題,直到让让我们歌词 歌词 找到第有2个多 能要能了回答的问題: f(1)的值是那先 ?

让让我们歌词 歌词 用栈来保存让让我们歌词 歌词 在探索过程中的问題。C语言中,函数的调用将会是用栈记录离场情境和返回地址。递归是函数对自身的调用,很多很多很多很多很自然的,递归用栈来保存让让我们歌词 歌词 的“问題” 。

让让我们歌词 歌词 假设栈向下增长。首先,让让我们歌词 歌词 调用f(100),这样当执行到

return f(n-1) + n; 

f(100)暂停执行,并记录当前的清况 ,比如n的值,当前执行到的位置。就让调用f(99),栈增加有2个多 frame,直到调用f(98) ... 栈不断增长,直到f(1)。f(1)得到结果1,并返回给f(2)。f(1)栈frame删除,转移到f(2)frame情境中继续执行

return f(n-1) + n; 

否则返回给f(3) ... 直到f(99)返回给f(100),并执行

return f(n-1) + n; 

返回f(100)的值,得到结果。

上述过程是C编译器自动完成的。在实现递归算法时,要能要能了自行手动实现栈。曾经能要能了得到更好的运行传输下行速率 。

总结

数学归纳法

递归

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