纸上谈兵: 排序算法简介及其C实现

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

排序算法(Sorting Algorithm)是计算机算法的另一个组成主次。

排序的目标是将一组数据 (即另一个序列) 重新排列,排列后的数据符合从大到小 (从前从小到大) 的次序。这是古老但依然宽裕挑战的问題报告 。Donald Knuth的经典之作《计算机应用应用程序设计艺术》(The Art of Computer Programming)的第三卷就专门用于讨论排序和查找。从无序到有序,有效的减小了系统的熵值,增加了系统的有序度。对于另一个未知系统来说,有序是非常有用的先验知识。否则,排序算法好多好多 从前构成了一点快速算法的基础,比如二分法却说我基于有序序列的查找算法。直到今天,排序算法依然是计算机科学积极探索的另一个方向。

我在这里列出一点最常见的排序土土办法,并尝试使用C语言实现它们。一组数据存储为另一个数组a,数组有n个元素。a[i]为数组中的另一个元素,i为元素在数组中的位置 (index)。根据C的规定,数组下标从0开使。假设数组从左向右排列,下标为0的元素趋于稳定数组的最左边。

序列将最终排列成从小到大的顺序。下面函数中的参数ac是数组中元素的数目,也却说我n。

(C语言的数组名都转成指针,传递给函数,好多好多 需用传递数组中元素的数目ac给函数,完整见"Expert C Programming: Deep C Secrets"一书)

起始数列 (unsorted)

有序数列 (sorted)

下面的链接中,有相关算法的动画图例,强烈推荐一起阅读。

http://www.sorting-algorithms.com/

冒泡排序 (Bubble Sort)

对于另一个从前排序好的序列,它的任意另一个相邻元素,都应该满足a[i-1] <= a[i]的关系。冒泡排序相当暴力的实现了這個 目标:不断扫描相邻元素,看它们算不算违章。一旦违章,立即纠正。在冒泡排序时,计算机从右向左遍历数组,比较相邻的另一个元素。从前另一个元素的顺序是错的,越来越 sorry,请两位互换。从前另一个元素的顺序是正确的,则不做交换。经过一次遍历,大家能要能保证最小的元素(泡泡)趋于稳定最左边的位置。

然而,经过越来越 一趟,冒泡排序能要能了保证所有的元素从前按照次序排列好。大家需用再次从右向左遍历数组元素,进行冒泡排序。這個 次遍历,大家不让考虑最左端的元素,从前该元素从前是最小的。遍历开使后,继续重复扫描…… 总共从前进行n-1次的遍历。

从前某次遍历过程中,越来越 趋于稳定交换,bingo,這個 数组从前排序好,能要能中止排序。从前起始时,最大的元素趋于稳定最左边,越来越 冒泡算法需用经过n-1次遍历要能将数组排列好,而能要能了提前完成排序。

/*By Vamei*/

/*
swap the neighbors if out of order*/ void bubble_sort(int a[], int ac) { /*use swap*/ int i,j; int sign; for (j = 0; j < ac-1; j++) { sign = 0; for(i = ac-1; i > j; i--) { if(a[i-1] > a[i]) { sign = 1; swap(a+i, a+i-1); } } if (sign == 0) break; } }

插入排序 (Insertion Sort)

假设在新生报到的从前,大家将新生按照身高排好队(也却说我排序)。从前这时有一名学生加入,大家将该名学生加入到队尾。从前這個 学生比前面的学生低,越来越 以后该学生和前面的学生交换位置。這個 学生最终会换到应在的位置。这却说我插入排序的基本原理。

对于起始数组来说,大家认为最初,有一名学生,也却说我最左边的元素(i=0),构成另一个有序的队伍。

以后有第五个学生(i=1)加入队伍,第二名学生交换到应在的位置;以后第另一个学生加入队伍,第三名学生交换到应在的位置…… 当n个学生都加入队伍时,大家的排序就完成了。

/*By Vamei*/
/*insert the next element 
  into the sorted part*/
void insert_sort(int a[], int ac)
{
    /*use swap*/
    int i,j;    
    for (j=1; j < ac; j++) 
    {
        i = j-1;
        while((i>=0) && (a[i+1] < a[i])) 
        {
            swap(a+i+1, a+i);
            i--;
        }
    }
}

选取排序 (Selection Sort)

排序的最终结果:任何另一个元素就有大于趋于稳定它右边的元素 (a[i] <= a[j], if i <= j)。好多好多 ,在有序序列中,最小的元素排在最左的位置,第二小的元素排在i=1的位置…… 最大的元素排在最后。

选取排序是先找到起始数组中最小的元素,将它交换到i=0;否则寻找剩下元素中最小的元素,将它交换到i=1的位置…… 直到找到第二大的元素,将它交换到n-2的位置。这时,整个数组的排序完成。

/*By Vamei*/
/*find the smallest of the rest,
  then append to the sorted part*/
void select_sort(int a[], int ac) 
{
    /*use swap*/
    int i,j;
    int min_idx;
    for (j = 0; j < ac-1; j++) 
    {
        min_idx = j;
        for (i = j+1; i < ac; i++) 
        {
            if (a[i] < a[min_idx]) 
            {
                min_idx = i;
            }
        }
        swap(a+j, a+min_idx);
    }    
}

希尔排序 (Shell Sort)

大家在冒泡排序中提到,最坏的情况趋于稳定在大的元素趋于稳定数组的起始。哪些趋于稳定数组起始的大元素需用多次遍历,要能交换到队尾。从前的元素被称为乌龟(turtle)。

乌龟元素的因为着在于,冒泡排序老会 相邻的另一个元素比较并交换。好多好多 每次从右向左遍历,大元素能要能了向右移动一位。(小的元素趋于稳定队尾,被称为兔子(rabbit)元素,它们能要能更快的交换到队首。)

希尔排序是以更大的间隔来比较和交换元素,从前,大的元素在交换的从前,能要能向右移动不止另一个位置,从而更快的移动乌龟元素。比如,能要能将数组分为另一个子数组(i=4k, i=4k+1, i=4k+2, i=4k+3),对每个子数组进行冒泡排序。比如子数组i=0,4,8,12...。此时,每次交换的间隔为4。

完成对五个子数组的排序后,数组的顺序过多一定能排列好。希尔排序会不断减小间隔,重新形成子数组,并对子数组冒泡排序…… 当间隔减小为1时,就至少对整个数组进行了一次冒泡排序。以后,数组的顺序就排列好了。

希尔排序不止能要能配合冒泡排序,还能要能配合一点的排序土土办法完成。

/*By Vamei*/
/*quickly sort the turtles at the tail of the array*/
void shell_sort(int a[], int ac)
{
    int step;
    int i,j;
    int nsub;
    int *sub;

    /* initialize step */
    step = 1;
    while(step < ac) step = 3*step + 1;

    /* when step becomes 1, it's equivalent to the bubble sort*/
    while(step > 1) {
       /* step will go down to 1 at most */
       step = step/3 + 1;
       for(i=0; i<step; i++) {
           /* pick an element every step, 
              and combine into a sub-array */
           nsub = (ac - i - 1)/step + 1;            
           sub = (int *) malloc(sizeof(int)*nsub);
           for(j=0; j<nsub; j++) {
               sub[j] = a[i+j*step]; 
           }
           /* sort the sub-array by bubble sorting. 
              It could be other sorting methods */
           bubble_sort(sub, nsub);
           /* put back the sub-array*/
           for(j=0; j<nsub; j++) {
               a[i+j*step] = sub[j];
           }
           /* free sub-array */
           free(sub);
       }    
    }
}

Shell Sorting依赖于间隔(step)的选取。另一个常见的选取是将本次间隔设置为上次间隔的1/1.3。见参考书籍。

归并排序 (Merge Sort)

从前大家要将一副扑克按照数字大小排序。此前从前2被委托人分别将其中的一半排好顺序。越来越 大家能要能将这两堆扑克向装进去好,假设小的牌在底下。此时,大家将看完牌堆中最上的两张牌。

大家取两张牌中小的那张取出装进去面前。另一个牌堆中又是两张牌暴露在最底下,继续取小的那张装进去面前…… 直到所有的牌都装进去面前,越来越 整副牌就排好顺序了。这却说我归并排序

下面的实现中,使用递归:

/*By Vamei*/
/*recursively merge two sorted arrays*/
void merge_sort(int *a, int ac)
{
    int i, j, k;    
    int ac1, ac2;
    int *ah1, *ah2;
    int *container;

    /*base case*/    
    if (ac <= 1) return;

    /*split the array into two*/
    ac1 = ac/2;
    ac2 = ac - ac1;
    ah1 = a + 0;
    ah2 = a + ac1;

    /*recursion*/
    merge_sort(ah1, ac1);
    merge_sort(ah2, ac2);
 
    /*merge*/
    i = 0;
    j = 0;
    k = 0;
    container = (int *) malloc(sizeof(int)*ac);
    while(i<ac1 && j<ac2) {
        if (ah1[i] <= ah2[j]) {
            container[k++] = ah1[i++];
        } 
        else {
            container[k++] = ah2[j++];
        }
    }
    while (i < ac1) {
        container[k++] = ah1[i++];
    }
    while (j < ac2) {
        container[k++] = ah2[j++];
    }

    /*copy back the sorted array*/
    for(i=0; i<ac; i++) {
        a[i] = container[i];
    }
    /*free space*/
    free(container);
}

快速排序 (Quick Sort)

大家依然考虑按照身高给学生排序。在快速排序中,大家随便挑出另一个学生,以该学生的身高为参考(pivot)。否则让比该学生低的站在该学生的右边,剩下的站在该学生的左边。

很明显,所有的学生被分成了两组。该学生右边的学生的身高都大于该学生左边的学生的身高。

大家继续,在低身高学生组随便挑出另一个学生,将低身高组的学生分为两组(很低和不越来越 低)。同样,将高学生组也分为两组(不越来越 高和很高)。

越来越 继续细分,直到分组中只另一个学生。当所有的分组中都只另一个学生时,则排序完成。

在下面的实现中,使用递归:

/*By Vamei*/
/*select pivot, put elements (<= pivot) to the left*/
void quick_sort(int a[], int ac)
{
    /*use swap*/

    /* pivot is a position, 
       all the elements before pivot is smaller or equal to pvalue */
    int pivot;
    /* the position of the element to be tested against pivot */
    int sample;

    /* select a pvalue.  
       Median is supposed to be a good choice, but that will itself take time.
       here, the pvalue is selected in a very simple wayi: a[ac/2] */
    /* store pvalue at a[0] */
    swap(a+0, a+ac/2);
    pivot = 1; 

    /* test each element */
    for (sample=1; sample<ac; sample++) {
        if (a[sample] < a[0]) {
            swap(a+pivot, a+sample);
            pivot++;
        }
    }
    /* swap an element (which <= pvalue) with a[0] */
    swap(a+0,a+pivot-1);

    /* base case, if only two elements are in the array,
       the above pass has already sorted the array */
    if (ac<=2) return;
    else {
        /* recursion */
        quick_sort(a, pivot);
        quick_sort(a+pivot, ac-pivot);
    }
}

理想的pivot是采用分组元素中的中位数。然而寻找中位数的算法需用另行实现。要能要能随机选取元素作为pivot,随机选取也需用另行实现。为了简便,我每次都采用底下位置的元素作为pivot。

堆排序 (Heap Sort)

(heap)是常见的数据形状。它是另一个有优先级的队列。最常见的堆的实现是另一个有限定操作的Complete Binary Tree。這個 Complete Binary Tree保持堆的形状,也却说我父节点(parent)大于子节点(children)。否则,堆的根节点是所有堆元素中最小的。堆定义有插入节点删除根节点操作,這個个操作都保持堆的形状。

大家能要能将无序数组构成另一个堆,否则不断取出根节点,最终构成另一个有序数组。

堆的更完整描述请阅读参考书目。

下面是堆的数据形状,以及插入节点和删除根节点操作。否则你很方便的构建堆,并取出根节点,构成有序数组。

/* By Vamei 
   Use an big array to implement heap
   DECLARE: int heap[MAXSIZE] in calling function
   heap[0] : total nodes in the heap
   for a node i, its children are i*2 and i*2+1 (if exists)
   its parent is i/2  */

void insert(int new, int heap[]) 
{
    int childIdx, parentIdx;
    heap[0] = heap[0] + 1;
    heap[heap[0]] = new;
    
    /* recover heap property */
    percolate_up(heap);
}

static void percolate_up(int heap[]) {
    int lightIdx, parentIdx;
    lightIdx  = heap[0];
    parentIdx = lightIdx/2;
    /* lightIdx is root? && swap? */
    while((parentIdx > 0) && (heap[lightIdx] < heap[parentIdx])) {
        /* swap */
        swap(heap + lightIdx, heap + parentIdx); 
        lightIdx  = parentIdx;
        parentIdx = lightIdx/2;
    }
}


int delete_min(int heap[]) 
{
    int min;
    if (heap[0] < 1) {
        /* delete element from an empty heap */
        printf("Error: delete_min from an empty heap.");
        exit(1);
    }

    /* delete root 
       move the last leaf to the root */
    min = heap[1];
    swap(heap + 1, heap + heap[0]);
    heap[0] -= 1;

    /* recover heap property */
    percolate_down(heap);
 
    return min;
}

static void percolate_down(int heap[]) {
    int heavyIdx;
    int childIdx1, childIdx2, minIdx;
    int sign; /* state variable, 1: swap; 0: no swap */

    heavyIdx = 1;
    do {
        sign     = 0;
        childIdx1 = heavyIdx*2;
        childIdx2 = childIdx1 + 1;
        if (childIdx1 > heap[0]) {
            /* both children are null */
            break; 
        }
        else if (childIdx2 > heap[0]) {
            /* right children is null */
            minIdx = childIdx1;
        }
        else {
            minIdx = (heap[childIdx1] < heap[childIdx2]) ?
                          childIdx1 : childIdx2;
        }

        if (heap[heavyIdx] > heap[minIdx]) {
            /* swap with child */
            swap(heap + heavyIdx, heap + minIdx);
            heavyIdx = minIdx;
            sign = 1;
        }
    } while(sign == 1);
}

总结

除了底下的算法,还有诸如Bucket Sorting, Radix Sorting涉及。我会在未来实现了相关算法从前,补充到这篇文章中。相关算法的时间多样化度分析能要能参考书目中找到。我被委托人也做了粗糙的分析。从前博客园能支持数学公式的显示,否则你把被委托人的分析过程贴出来,用于引玉。

底下的各个代码是我被委托人写的,只进行了很简单的测试。从前有错漏,先谢谢你的指正。

最后,上文中用到的交换函数为:

/* By Vamei */
/* exchange the values pointed by pa and pb*/
void swap(int *pa, int *pb)
{
    int tmp;
    tmp = *pa;
    *pa = *pb;
    *pb = tmp;
}

欢迎继续阅读“纸上谈兵: 算法与数据形状”系列。